guest

Урок 5 - Равновесие. Связи и их реакции

horizontal_line

Равновесие

Мы пока что изучаем статику, а в основе статики лежит понятие о равновесии. Равновесие - это состояние покоя тела по отношению к окружающим его телам. То есть, в выбранной системе отсчета наше тело неподвижно. Например, дом, в котором вы живете, находится в равновесии относительно земли. Он никуда не перемещается несмотря на то, что к нему приложены сила тяжести, сила трения со стороны земли, сила давления упавшего на крышу дерева:

pic1
рис. 1.5.1 Неподвижный дом под действием сил
  • сила давления упавшего дерева Ft
  • сила тяжести Fg
  • сила трения Ff
  • сила реакции земли Fn

Другой пример - диван в поезде. Вы сидите на нем, и воздействуете на него с силой своего веса. Также на него действует сила трения со стороны пола, которая не позволяет ему скользить, и сила реакции со стороны пола, которая не позволяет дивану провалиться сквозь пол. И не важно, что сам поезд двигается - мы рассматриваем лишь положение дивана относительно вагона. Относительно вагона диван находится в равновесии.

pic2
рис. 1.5.2 Равновесие дивана относительно вагона
  • сила давления пассажира на диван F
  • сила тяжести Fg
  • сила трения со стороны пола Fw
  • сила реакции пола Fn

А теперь самое главное:

Тело может находится в равновесии только тогда, когда главный вектор сил и главный вектор моментов равны нулю. То есть, на тело может действовать любая система сил, но их результирующая должна быть равна нулю. То же самое касается моментов. Запишем это так:

ex1

Мо - момент относительно точки О, которую можно выбрать произвольно.

Это суть первого закона Ньютона.

Другими словами, если к телу приложена сила F, то должна быть другая сила F', которая будет такой же величины, но противоположно направлена так, чтобы F' компенсировала F и их результирующая равнялась нулю. Тогда тело будет в равновесии. Если действие всех приложенных сил не скомпенсировано, и результирующая не равна нулю - то тело начнёт передвигаться, и это уже не будет равновесием. Также должно выполнятся условие по моментам. Даже если результирующая сила равна нулю, но моменты не скомпенсированы (результирующий момент не равен нулю), то тело начнет вращаться - и это тоже уже не будет равновесием.

Например, мы взяли стакан, и поставили на стол. На стакан действует сила тяжести. Сила, как мы помним, стремиться тело переместить по направлению своего действия. Тогда, под действием силы тяжести, стакан должен провалиться сквозь стол, но мы то видим, что стакан в равновесии. А все потому, что стол действует на стакан с такой же силой, но направленной противоположно.

pic3
рис. 1.5.3 Равновесие стакана на столе

Из условия (1) легко получить уравнения статики, которые используют для решения практических задач. Мы их рассмотрим уже в следующей главе, а пока рассмотрим связи

Связи

Если тело под действием сил может перемещаться куда угодно и как угодно, без ограничений - то тело называют "свободным". Например, футбольный мяч в воздухе, или космический корабль, летящий по орбите в космосе.

Если же есть другие тела, которые мешают данному телу перемещаться совершенно свободно - то такие тела называют "связями". Когда мы прикладываем к телу силу, связь начинает также воздействовать на тело с силой, которая препятствует перемещению тела. Эту ответную силу, которая возникает в связи называют "реакцией связи". Направлена эта сила противоположно направлению, в котором исходная сила пытается тело переместить.

Мы уже упоминали такие силы не раз: реакция со стороны рельс, когда вагон стоит на них, реакция стола, которая не позволяет стакану провалиться сквозь него и т.д.

Надо понимать, что реакции связей являются точно такими же полноценными силами как и основные силы, приложенные к телу. Пусть они возникают в ответ на основные силы, но они на тех же условиях входят в уравнения равновесия. К слову, реакции связей обычно являются неизвестными - их надо найти.

Связи, встречающиеся на практике можно свести к некоторым основным видам, в зависимости от того, как связи ограничивают перемещение тела. Это полезно для решения практических задач. Рассмотрим их.

Гладкая поверхность

Абсолютно скользкая поверхность (без трения), которая не позволит телу пройти сквозь неё. Когда тело прикасается к ней, она воздействует на тело, препятствую его дальнейшему перемещению. Сила реакции будет направлена по нормали к поверхности (нормаль - это перпендикуляр к поверхности).

pic4
рис. 1.5.4 Реакция связи гладкой поверхности

Нить

Нить, связывающая тело с некоторой точкой А не даёт телу удаляться от этой точки. Сила реакции связи направлена вдоль нити по направлению к точке А. Нить - это лишь название вида связи, в реальной ситуации её роль может выполнять всё, что ведёт себя похожим образом - канат, трос, цепь и т.п.

pic5
рис. 1.5.5 Реакция связи нити

К слову, здесь шар не находится в равновесии. На него действуют сила тяжести Fg и сила натяжения нити N, но они не направлены вдоль одной прямой, поэтому не могут компенсировать друг друга. Их результирующая R не равна нулю, и она заставляет шар двигаться к дому.

Цилиндрический шарнир

Когда одно тело может свободно вращаться вокруг другого по некоторой оси, то это цилиндрический шарнир. Тело может вращаться, но не может перемещаться куда-нибудь в сторону от оси вращения. Например, коленчатый вал двигателя внутреннего сгорания (рис. 1.5.6). Вал крепится на опорах с помощью подшипников скольжения - они как раз и создают цилиндрический шарнир. Шатуны действуют на вал с силой, которая пытается его переместить, но в подшипниках возникает ответная реакция (реакция связи), которая препятствует перемещению и вал остаётся на месте.

pic6
рис. 1.5.6 Коленчатый вал двигателя - пример цилиндрического шарнира

Для этого вида связи вектор силы реакции лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения:

pic7
рис. 1.5.7 Реакция связи цилиндрического шарнира

Другим примером цилиндрического шарнира является радиальный шариковый подшипник. Однако, если подшипник радиально-упорный (а большинство шариковых подшипников на практике именно такие), то он может воспринимать также боковую нагрузку. Тогда реакция связи может иметь составляющую вдоль оси вращения, и результирующий вектор реакции уже не будет в плоскости. Тогда мы получим еще один вид связи - подпятник:

pic8
рис. 1.5.8 Реакция связи подпятника

Силу реакции N можно разложить на составляющие: Nz – вдоль оси z, и Nxy – в плоскости вращения.

Сферический шарнир

Он обеспечивает свободное вращение тела относительно некоторой точки O, но, при этом полностью исключает перемещения тела относительно этой точки. Хорошим примером является штатив фотоаппарата (рис. 1.5.9). Реакция такого шарнира может быть направлена куда угодно из точки O.

pic9
рис. 1.5.9 Реакция связи сферического шарнира

Невесомый стержень

- это жесткий стержень, сила тяжести которого довольно мала на фоне нагрузки, которую он воспринимает. Например, уже упомянутый шатун двигателя внутреннего сгорания. Он соединяет два тела: цилиндр и коленвал. Как и у нити, его реакция направлена вдоль оси стержня. Но, в отличие от нити, стержень жесткий, он не сжимается, а значит его реакция может быть направлена в обе стороны вдоль оси. Другими словами, он может работать как на растяжение, так и на сжатие.

pic10
рис. 1.5.10 Реакция связи невесомого стержня

реакции N и N’ равны, но противоположно направлены. N действует на поршень со стороны шатуна. N’ действует на коленвал со стороны шатуна.

Заделка

Примером заделки может быть конец металической трубы, замурованный в бетонную стену. Такая связь исключает любые перемещения и повороты. Реакция связи имеет все шесть возможных компонент - три силы и три момента. В случае "плоской" задачи заделка даёт две неизвестные силы реакции и один неизвестный момент.

pic11
рис. 1.5.11 Реакции связи заделки

В заключение этой главы, нужно пояснить один важный нюанс о равновесии. Как было сказано, Равновесие - это состояние покоя (неподвижность) тела относительно тел вокруг. Это было сказано, чтобы формулировка была проще для понимания. Но, если сказать точнее, равновесие - это состояние покоя либо равномерного прямолинейного движения относительно тел вокруг. То есть, когда результирующие сила и момент, действующие на тело, равны нулю - тело может находиться в состоянии покоя или прямолинейного движения с постоянной скоростью. С точки зрения механики, не важно, стоит ли тело на месте, или движется по прямой с постоянной скоростью - и то и другое будет состоянием равновесия (помните пример про равновесие дивана в поезде?).

Любое тело стремится сохранять своё текущее состояние, если на него не действуют никакие силы. Если до этого, под действием сил, тело двигалось с некоторой скоростью, то после прекращения действия сил тело продолжит двигаться с той же скоростью в том же направлении. Это называется "инерция".

Если это не совсем понятно, вспомните про пример с домом, который в равновесии относительно земли. Но ведь земля сама движется в космосе с постоянной скоростью около 29 км/c. И сама наша солнечная система тоже движется относительно вселенной. Но это, очевидно, никак не меняет сути - дом все равно остаётся в равновесии.

horizontal_line