created at December 4, 2022

Нагревание проводника с током

Допустим, есть кусок проводника (проволока), длинною l метров, диаметром d милиметров. Проводник без обмотки, просто натянут в воздухе. Прикладываем к проводнику постоянное напряжение U. В нем начинает течь ток I = U/R, в результате чего проводник разогревается и достигает некоторой температуры. Вопрос: как сильно разогреется проводник?

Такой натянутый проводник может, например, использоваться для резки пенопласта.

Когда через проводник течёт ток I, на проводнике выделяется активная мощность:

P = R\cdot I^2

При этом, часть этой энергии идёт на нагрев проводника, часть выделяется в окружающую среду. Сразу после включения, температура проводника равна температуре окружающей среды T₀. Много энергии идёт на нагрев проводника, его температура T быстро повышается. По мере роста температуры, всё больше тепла рассеивается в окружающую среду. Через какое-то время наступает ситуация, когда проводник больше не нагревается изнутри, и вся мощность P рассеивается в окружающую среду.

Составим энергетический баланс процесса. За короткий промежуток времени подводится тепло:

dQ = P\cdot dt

которое расходуется на нагрев проводника:

dQ_1 = c\cdot m\cdot dT

и частично выделяется в окружающую среду:

dQ_2 = \alpha \cdot A \cdot \left ( T - T_0 \right )

Здесь m = масса проводника [kg], с = удельная теплоёмкость проводника [J/(kg·K)], dT - элементарный прирост температуры проводника, A - площадь поверхности проводника [m²], α - коэффициент теплоотдачи материала проводника, T₀ - температура окружающей среды.

Если большинство параметров довольно легко найти в справочниках, то с коэффициентом теплоотдачи всё немного сложнее. Он характеризует интенсивность передачи тепла от поверхности в окружающую среду. Он зависит от материала поверхности, от состояния поверхности, от характеристик окружающей среды и т.д.

Данную задачу я рассматривал для конкретного случая, когда проволока сделана из нихрома, и натянута в воздухе (без сильного ветра). Для этого случая я нашел значение α = 46 W/(m²·K)

В результате баланс выглядит так:

P\cdot dt = c\cdot m\cdot dT + \alpha \cdot A \cdot \left ( T - T_0 \right )\cdot dt

После деления на dt, увидим неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, где температура проводника T - неизвестная функция от времени. Решение этого уравнения отражает процесс нагрева. Чтобы решить его численно, перенесём производную от температуры влево:

\frac{dT}{dt} = \frac{P - \alpha\cdot A\cdot \left (T - T_0 \right )}{c\cdot m}

Используйте Dysolve для решения этой задачи. Для нихромовой проволоки диаметром 0.4 mm и длиной 1 m, при напряжении 12 V, процесс нагрева выглядит так:

Здесь нагрев начинается с комнатной температуры, и заканчивается примерно через 40 секунд, достигая постоянной температуры около 300°C.