⇐ back

    Нагревание проводника с током

    Допустим, есть кусок проводника (проволока), длинною l метров, диаметром d милиметров. Проводник без обмотки, просто натянут в воздухе. Прикладываем к проводнику постоянное напряжение U. В нем начинает течь ток I = U/R, в результате чего проводник разогревается и достигает некоторой температуры. Вопрос: как сильно разогреется проводник?

    Такой натянутый проводник может, например, использоваться для резки пенопласта.

    conductor heating.PNG

    Когда через проводник течёт ток I, на проводнике выделяется активная мощность:

    P=R⋅I2P = R\cdot I^2

    При этом, часть этой энергии идёт на нагрев проводника, часть выделяется в окружающую среду. Сразу после включения, температура проводника равна температуре окружающей среды T0. Много энергии идёт на нагрев проводника, его температура T быстро повышается. По мере роста температуры, всё больше тепла рассеивается в окружающую среду. Через какое-то время наступает ситуация, когда проводник больше не нагревается изнутри, и вся мощность P рассеивается в окружающую среду.

    Составим энергетический баланс процесса. За короткий промежуток времени подводится тепло:

    dQ=P⋅dtdQ = P\cdot dt

    которое расходуется на нагрев проводника:

    dQ1=c⋅m⋅dTdQ_1 = c\cdot m\cdot dT

    и частично выделяется в окружающую среду:

    dQ2=α⋅A⋅(T−T0)dQ_2 = \alpha \cdot A \cdot \left ( T - T_0 \right )

    Здесь m = масса проводника [kg], с = удельная теплоёмкость проводника [J/(kg·K)], dT - элементарный прирост температуры проводника, A - площадь поверхности проводника [m2], α - коэффициент теплоотдачи материала проводника, T0 - температура окружающей среды.

    Если большинство параметров довольно легко найти в справочниках, то с коэффициентом теплоотдачи всё немного сложнее. Он характеризует интенсивность передачи тепла от поверхности в окружающую среду. Он зависит от материала поверхности, от состояния поверхности, от характеристик окружающей среды и т.д.

    Данную задачу я рассматривал для конкретного случая, когда проволока сделана из нихрома, и натянута в воздухе (без сильного ветра). Для этого случая я нашел значение α = 46 W/(m2·K)

    В результате баланс выглядит так:

    P⋅dt=c⋅m⋅dT+α⋅A⋅(T−T0)⋅dtP\cdot dt = c\cdot m\cdot dT + \alpha \cdot A \cdot \left ( T - T_0 \right )\cdot dt

    После деления на dt, увидим неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка, где температура проводника T - неизвестная функция от времени. Решение этого уравнения отражает процесс нагрева. Чтобы решить его численно, перенесём производную от температуры влево:

    dTdt=P−α⋅A⋅(T−T0)c⋅m\frac{dT}{dt} = \frac{P - \alpha\cdot A\cdot \left (T - T_0 \right )}{c\cdot m}

    Используйте Dysolve для решения этой задачи. Для нихромовой проволоки диаметром 0.4 mm и длиной 1 m, при напряжении 12 V, процесс нагрева выглядит так:

    conductor heating graph.PNG

    Здесь нагрев начинается с комнатной температуры, и заканчивается примерно через 40 секунд, достигая постоянной температуры около 300°C.