created at June 6, 2021

Метод контурных токов

Метод контурных токов применяется для расчета разветвленной электрической цепи. Расчет цепи означает нахождение токов, текущих в ее ветвях.

В основе этого метода лежат два закона Кирхофа.

Первый закон Кирхофа заключается в том, что алгебраическая сумма токов всех ветвей, подключенных к данному узлу, равна нулю. В некоторых ветвях токи подходят к узлу (считаются положительными), в некоторых отходят от узла (отрицательные), но в сумме дают ноль, поскольку в узле не может накапливаться заряд. Сколько тока входит в узел, столько и должно выходить.

I_{1} - I_{2} - I_{3} = 0

Второе закон Кирхгофа гласит, что алгебраическая сумма напряжений на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме ЭДС, входящих в этот контур.

\sum_{k} R_{k}\cdot I_{k} = \sum_{n} E_{n}

Допустим, нужно посчитать токи в следующей цепи:

Кол-во узлов в цепи: N = 2. Кол-во независимых узловых уравнений, которые можно составить: n = N - 1 = 1. Кол-во ветвей M (а также неизвестных токов) - 3. Кол-во уравнений, которые можно составить по методу контурных токов: m = M - n = 3 - 1 = 2. То есть, цепь содержит два замкнутых контура, и это дает возможность составить два уравнения.

Суть метода в том, что выделяются замкнутые контуры в цепи, для каждого из которых произвольно выбирается направление некого виртуального тока, текущего в данном контуре (токи I_A, I_B на рисунке выше). Для этого контура составляются уравнения баланса напряжений (из второго закона Кирхофа). Система уравнений решается относительно контурных токов, реальные токи в ветвях потом можно выразить через контурные.

Для каждого контура сумма падений всех напряжения равна сумме всех ЭДС. Если направление ЭДС в контуре не совпадает с выбранным направлением контурного тока - она входит в уравнение со знаком минус.

Составим уравнения:

\begin{cases} I_{A}\cdot R_{01} + I_{A}\cdot R_{1} + I_{A}\cdot R_{02} - I_{B}\cdot R_{02} = E_{1} + E_{2}\\ I_{B}\cdot R_{02} - I_{A}\cdot R_{02} + I_{B}\cdot R_{03} + I_{B}\cdot R_{3} = -E_{2} - E_{3} \end{cases}

Через резистор R02 проходят оба контурных тока, причем в противоположных направлениях, что отражается в уравнениях. Перепишем уравнения немного по-другому, чтобы их было удобнее решать:

\begin{cases} I_{A}\cdot (R_{01} + R_{1} + R_{02}) - I_{B}\cdot R_{02} = E_{1} + E_{2}\\ I_{A}\cdot R_{02} - I_{B}\cdot (R_{02} + R_{03} + R_{3}) = E_{2} + E_{3} \end{cases}

Как видим, это система линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными I_A и I_B. Решив их, можно найти неизвестные токи:

I_{1} = I_{A}

I_{2} = I_{A} - I_{B}

I_{3} = I_{B}

Если значение тока получилось отрицательным, значит мы изначально не угадали с направлинием тока и в реальности ток течет в направлении противоположном обозначенному стрелкой.