created at June 16, 2021

Паралельная LC цепь

Рассмотрим цепь, в которой конденсатор и катушка подключены паралельно к источнику переменного напряжения:

u = U_{m}\cdot sin(\omega\cdot t)

Катушка также имеет активное сопротивление R₂. Активным сопротивлением конденсатора пренебрегаем.

Ток I₁ в ветви конденсатора будет опережать по фазе напряжение U на угол π/2:

i_{1} = \frac{U_{m}}{X_C} sin \left ( \omega\cdot t + \frac{\pi}{2} \right )

Ток I₂ в ветви катушки будет отставать от напряжения U по фазе на угол φ2:

i_{2} = \frac{U_{m}}{Z_{2}} sin \left ( \omega\cdot t - \phi_{2} \right )

Z_{2} = \sqrt{R_2^2 + X_L^2}

\phi_{2} = atan \left ( \frac{X_L}{R_2} \right )

Полный ток I - это сумма токов I₁ и I₂ (первый закон Кирхофа). Построим векторную диаграмму токов (треугольник токов):

Разложим вектор тока I₂ на две составляющие - активную I_2a и реактивную I_2r:

I_{2a} = I_2\cdot cos(\phi_2);\quad I_{2r} = I_2\cdot sin(\phi_2)

Полный ток I может опережать напряжение по фазе, или отставать от него. Это зависит от того, какой из реактивных токов больше - в ёмкостной ветви или в индуктивной. В нашем примере реактивный ток в ёмкостной ветви больше, чем в индуктивной (I₁ > I_2r), соответственно ёмкостное сопротивление меньше индуктивного.

\phi = atan \left ( \frac{I_{2r} - I_1}{I_{2a}} \right )

I = \frac{I_{2a}}{cos(\phi)}

i = I_m\cdot sin(\omega\cdot t - \phi);\quad I_m = I\cdot \sqrt{I}

В нашем примере угол φ окажется отрицательным, поэтому ток будет опережать напряжение. Также помним, что угол φ откладывается от тока к напряжению. В нашем случае это соответствует направлению по часовой стрелке, что опять же соответствует отрицательному значению угла.

Как и в случае последовательной RLC цепи, в паралельной LC цепи возможен резонанс. Он возникает когда ёмкостные и индуктивные токи равны (I₁ = I_2r). Резонансная частота:

\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}\sqrt{1 - R_2^2\cdot \frac{C}{L}}

Если контур идеальный (R₂ = 0), то формула резонансной частоты будет совпадать с таковой для последовательного контура. В идеальном контуре при резонансе ток I становится равным нулю. В реальном контуре ток I принимает некоторое минимальное значение при определенной частоте.

Посчитав токи для разных значений частоты, можно построить резонансную кривую:

Активная мощность:

P = U\cdot I\cdot cos(\phi)

Реактивная мощность:

Q = U\cdot I\cdot sin(\phi)

Полная мощность:

S = U\cdot I = \sqrt{P^2 + Q^2}