created at June 10, 2021 (changed at July 2, 2021)

Последовательная RLC цепь

Последовательная RLC цепь состоит из резистора, катушки и конденсатора, соединенных последовательно. В нашей схеме мы считаем, что резистор представляет активное сопротивление катушки.

Цепь подключена к источнику переменного синусоидального напряжения U, поэтому в цепи течет также переменный ток:

i = I_{m}\cdot sin(\omega\cdot t)\quad (1)

Напряжение на резисторе R совпадает по фазе с током:

u_{R} = I_{m}\cdot R\cdot sin(\omega\cdot t)

Напряжение на индуктивном участке цепи опережает ток по фазе на угол π/2:

u_{L} = I_{m}\cdot X_{L}\cdot sin(\omega\cdot t + \frac{\pi}{2})

где X_L = ω·L - индуктивное сопротивление.

Напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на угол π/2:

u_{C} = I_{m}\cdot X_{C}\cdot sin\left ( \omega\cdot t - \frac{\pi}{2} \right )

где X_C = 1/ω·C - ёмкостное сопротивление.

Векторная диаграмма для всех напряжений (треугольник напряжений), с учетом фаз:

Если все напряжения разделить на ток I, то получится треугольник сопротивлений:

где R - активное сопротивление, X_L - индуктивное сопротивление, X_С - ёмкостное сопротивление, Z - полное сопротивление (или импеданс). Таким образом, полное сопротивление цепи:

Z = \sqrt{R^{2} + \left ( X_{L} - X_{C} \right ) ^2}

Полное реактивное сопротивление состоит из индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

X = X_{L} - X_{C}

Угол между фазами тока I и полного напряжения U:

\phi = atan\left ( \frac{X}{R}\right )

Если индуктивное сопротивление больше ёмкостного, то полное реактивное сопротивление положительно, и угол φ > 0. В таком случае вся цепь имеет сопротивление активно-индуктивного качества, и полное напряжение U опережает ток на угол φ. Если ёмкостное сопротивление больше индуктивного, то φ < 0, цепь активно-ёмкостная, и напряжение U отстаёт по фазе от тока на угол φ.

Если индуктивное и ёмкостные сопротивления равны - полное реактивное сопротивление равно нулю. Тогда полное сопротивление минимально (оно включает только активное сопротивление R), а ток в цепи максимален. В цепи наступает резонанс. При этом отдельные напряжения на индуктивном и ёмкостном участках довольно большие, но они компенсируют друг друга, поскольку их фазы противопольжны.

Поскольку X_L = ω·L и X_C = 1/ω·C, резонанса можно достигнуть меняя индуктивность катушки L, ёмкость конденсатора C, или частоту входного напряжения. В последнем случае, при увеличении частоты, X_L увеличивается, а X_C уменьшается. Резонанс наступает при X_L = X_C, отсюда резонансная частота:

\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}

Посчитав значения тока в цепи при разных частотах ω, можно построить резонансную кривую:

Коэффициент мощности цепи определятеся как отношение активного и реактивных сопротивлений:

cos\phi = \frac{R}{Z}

Эффективный ток, текущий через цепь:

I = \frac{U}{Z}

Активная мощность:

P = I^{2}\cdot R

Реактивная мощность:

Q = (X_{L} - X_{C})\cdot I^{2}

Полная мощность, потребляемая цепью:

S = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}