⇐ back

    Последовательная RLC цепь

    Последовательная RLC цепь состоит из резистора, катушки и конденсатора, соединенных последовательно. В нашей схеме мы считаем, что резистор представляет активное сопротивление катушки.

    scheme.PNG

    Цепь подключена к источнику переменного синусоидального напряжения U, поэтому в цепи течет также переменный ток:

    i=Im⋅sin(ω⋅t)(1)i = I_{m}\cdot sin(\omega\cdot t)\quad (1)

    Напряжение на резисторе R совпадает по фазе с током:

    uR=Im⋅R⋅sin(ω⋅t)u_{R} = I_{m}\cdot R\cdot sin(\omega\cdot t)

    Напряжение на индуктивном участке цепи опережает ток по фазе на угол π/2:

    uL=Im⋅XL⋅sin(ω⋅t+π2)u_{L} = I_{m}\cdot X_{L}\cdot sin(\omega\cdot t + \frac{\pi}{2})

    где XL = ω·L - индуктивное сопротивление.

    Напряжение на конденсаторе отстает от тока по фазе на угол π/2:

    uC=Im⋅XC⋅sin(ω⋅t−π2)u_{C} = I_{m}\cdot X_{C}\cdot sin\left ( \omega\cdot t - \frac{\pi}{2} \right )

    где XC = 1/ω·C - ёмкостное сопротивление.

    Векторная диаграмма для всех напряжений (треугольник напряжений), с учетом фаз:

    voltage triangle.PNG

    Если все напряжения разделить на ток I, то получится треугольник сопротивлений:

    resistance triangle.PNG

    где R - активное сопротивление, XL - индуктивное сопротивление, XС - ёмкостное сопротивление, Z - полное сопротивление (или импеданс). Таким образом, полное сопротивление цепи:

    Z=R2+(XL−XC)2Z = \sqrt{R^{2} + \left ( X_{L} - X_{C} \right ) ^2}

    Полное реактивное сопротивление состоит из индуктивного и ёмкостного сопротивлений:

    X=XL−XCX = X_{L} - X_{C}

    Угол между фазами тока I и полного напряжения U:

    ϕ=atan(XR)\phi = atan\left ( \frac{X}{R}\right )

    Если индуктивное сопротивление больше ёмкостного, то полное реактивное сопротивление положительно, и угол φ > 0. В таком случае вся цепь имеет сопротивление активно-индуктивного качества, и полное напряжение U опережает ток на угол φ. Если ёмкостное сопротивление больше индуктивного, то φ < 0, цепь активно-ёмкостная, и напряжение U отстаёт по фазе от тока на угол φ.

    Если индуктивное и ёмкостные сопротивления равны - полное реактивное сопротивление равно нулю. Тогда полное сопротивление минимально (оно включает только активное сопротивление R), а ток в цепи максимален. В цепи наступает резонанс. При этом отдельные напряжения на индуктивном и ёмкостном участках довольно большие, но они компенсируют друг друга, поскольку их фазы противопольжны.

    Поскольку XL = ω·L и XC = 1/ω·C, резонанса можно достигнуть меняя индуктивность катушки L, ёмкость конденсатора C, или частоту входного напряжения. В последнем случае, при увеличении частоты, XL увеличивается, а XC уменьшается. Резонанс наступает при XL = XC, отсюда резонансная частота:

    ω0=1L⋅C\omega_{0} = \frac{1}{\sqrt{L\cdot C}}

    Посчитав значения тока в цепи при разных частотах ω, можно построить резонансную кривую:

    resonance curve.PNG

    Коэффициент мощности цепи определятеся как отношение активного и реактивных сопротивлений:

    cosϕ=RZcos\phi = \frac{R}{Z}

    Эффективный ток, текущий через цепь:

    I=UZI = \frac{U}{Z}

    Активная мощность:

    P=I2⋅RP = I^{2}\cdot R

    Реактивная мощность:

    Q=(XL−XC)⋅I2Q = (X_{L} - X_{C})\cdot I^{2}

    Полная мощность, потребляемая цепью:

    S=P2+Q2S = \sqrt{P^{2} + Q^{2}}