created at November 27, 2022

Индуктивность катушки (соленоида)

Сначала приведём общие сведения для вывода формулы

Напряжённость магнитного поля

Ток, текущий в проводнике, порождает магнитное поле вокруг себя. Магнитное поле характеризуется напряжённостью H [A/m]. Напряжённость - это вектор, и магнитное поле - это векторное поле. Есть соотношение:

\oint_{C}^{}Hds=\int_{A}^{}jdA=I\quad (1)

Согласно которому, циркуляция* векторного поля H по некоторому замкнутому контуру C, который ограничивает площадку A, равна интегралу от плотности тока, текущему через эту площадку (то есть равна суммарному току I, текущему через площадку).

* - циркуляция векторного поля по кривой s - это интеграл, в котором мы умножаем значение поля в каждой точке кривой на элементарную длину кривой ds.

Напряжённость магнитного поля прямого провода

Например, если через прямой провод течёт ток I, вокруг провода образуется магнитное поле, силовые линии которого выглядят как концентрические окружности вокруг провода.

Можем рассмотреть одну из таких окружностей, радиуса r. Для такой окружности, в каждой её точке вектор напряжённости H направлен по касательной к окружности, и значение напряжённости постоянно по всей окружности. Также, ток провода I пересекает площадку, ограниченную этой окружностью. Поэтому интеграл (1) можно свести к простой формуле:

H\cdot s = I;\quad s = 2\pi r;\quad H = \frac{I}{2\pi r}

Напряжённость магнитного поля катушки (соленоида)

Если мы теперь намотаем провод на цилиндрическую поверхность, длина l которой намного больше, чем диаметр D, то получится соленоид. Ток в каждом отдельном витке будет порождать магнитное поле. Результирующее магнитное поле H внутри всей катушки будет примерно одинаково по величине и направлению, а снаружи катушки будет довольно мало. Линии напряжённости магнитного поля соленоида выглядят так:

Пренебрегая внешним полем, можно опять применить интеграл (1) к соленоиду. Возьмём замкнутый контур C, который охватывает половину катушки. Тогда, с одной стороны, в циркуляцию поля H по контуру вносит вклад только поле внутри катушки, и поскольку оно одинаково во всех точках контура, мы его умножаем на длину катушки l. С другой стороны, площадку A, ограниченную этим контуром, пересекают витки катушки, в каждом из которых течёт ток I, т.е. суммарный ток равен N·I. Тогда имеем для напряжённости магнитного поля соленоида:

H = \frac{N\cdot I}{l}

Магнитные свойства вещества

Если поместить материал во внешнее магнитное поле H₀, то микрочастицы материала (плоскости, в которых вращаются электроны) могут ориентироваться определённым образом, создав своё собственное магнитное поле H₁. Тогда напряжённость результирующего магнитного поля H внутри этого материала будет суммой напряжённости исходного поля H₀ и поля H₁:

H = H_0 + H_1

В зависимости от того, как материалы реагируют на внешнее магнитное поле, они делятся на:

Диамагнетики (немного ослабляют внешнее поле)
Парамагнетики (немного усиливают внешнее поле)
Ферромагнетики (значительно усиливают внешнее поле)

Если поле H₁ линейно зависит от H₀ (для диа- и парамагнетиков), то можно записать:

H = H_0 + \chi H_0 = (1 + \chi)H_0 = \mu H_0

где χ - магнитная восприимчивость материала, а μ = 1 + χ - магнитная проницаемость. μ eщё называют относительной магнитной проницаемостью, поскольку она показывает во сколько раз материал увеличивает внешнее магнитное поле внутри себя.

Магнитная проницаемость μ электротехнической стали зависит от напряжённости магнитного поля, и может иметь значение порядка нескольких тысяч (до 11000). Магнитная проницаемость феррита может быть 640 и более.

Индукция магнитного поля

В системе СИ пользуются понятием магнитной индукции, которая связана с H через коэффициент μ₀:

B = \mu_0 \cdot H = \mu_0 \cdot \mu \cdot H_0

μ₀ - магнитная постоянная (она же магнитная проницаемость вакуума), равная 4·π·10^-7 [H/m]

Поток магнитной индукции

Поток магнитной индукции Φ через площадку A можно посчитать как интеграл:

\Phi = \int_{A}{}B\cdot cos(\alpha)dA

Нас интересует поток, создаваемый одним витком катушки. Поскольку магнитное поле однородно внутри катушки (B везде одинаково) и его линии направлены поперёк площадки (вдоль катушки и поперёк плоскости витка), получается:

\Phi = B\cdot A

Полный магнитный поток Ψ, создаваемый катушкой, называют магнитным потокосцеплением, он равен сумме потоков в каждом витке:

\Psi = N\cdot B\cdot A

Индуктивность

Индуктивность L катушки - это коэффициент пропорциональности между током I, текущим в ней, и полным потоком Ψ (потокосцеплением), которая катушка генерирует:

\Psi = L\cdot I

Собрав предыдущие формулы воедино, получим:

\Psi = \frac{\mu_0\cdot \mu\cdot N^2\cdot A\cdot I}{l}

Откуда индуктивность соленоида:

L = \frac{\mu_0\cdot \mu\cdot N^2\cdot A}{l}

Если катушка пустая (есть только намотка), то μ = 1 (магнитная проницаемость воздуха). Если поместить внутрь катушки сердечник из ферромагнитного материала (например, электротехническая сталь, либо феррит), для которого магнитная проницаемость μ намного больше единицы, то можно в разы повысить индуктивность катушки, сохранив прежние размеры.