⇐ back

    Вычисление треугольника по заданным сторонам

    обозначения

    triangle dimensions.PNG

    Стороны обозначаются маленькими латинскими буквами a, b, c. Противолежащие этим сторонам углы обозначаются греческими буквами α, β, γ, а точки в этих углах большими латинскими буквами A, B, C.

    Периметр - сумма всех сторон:

    P=a+b+cP = a + b + c

    Полупериметр - половина периметра:

    p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}

    Площадь (формула Герона):

    S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

    вписанная и описанная окружности

    triangle inner outer circles.PNG

    Описанная окружность проходит через все вершины треугольника, центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров для всех трёх сторон. Радиус:

    R=a⋅b⋅c4⋅SR = \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}

    Вписанная окружность находится внутри треугольника и касается всех его сторон. Центр находится в точке пересечения биссектрис. Радиус:

    r=Spr = \frac{S}{p}

    медианы

    Медиана - отрезок, проведённый из угла к середине противолежащей стороны. Мы можем провести три медианы, и все они пересекаются в одной точки - центроид. Если вырезать пластину одинаковой толщины по форме и размеру данного треугольника - то центроид будет центром тяжести этой пластины. Медиану для стороны c можно найти как:

    mc=2⋅a2+2⋅b2−c24m_c = \sqrt{\frac{2\cdot a^2 + 2\cdot b^2 - c^2}{4}}

    высоты

    Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Все высоты пересекаются в одной точке - ортоцентр. Высоту для стороны c можно найти как:

    hc=a⋅b2⋅R=2⋅Sch_c = \frac{a\cdot b}{2\cdot R} = \frac{2\cdot S}{c}

    биссектриссы

    Биссектрисса - отрезок, проведённый из угла к противоположной стороне и делящий данный угол пополам. Все они пересекаются в одной точке - инцентр (она же центр вписанной окружности). Биссектриссу для стороны c можно найти как:

    lc=2a⋅b⋅p⋅(p−c)a+bl_c = \frac{2\sqrt{a\cdot b\cdot p\cdot (p - c)}}{a + b}

    углы треугольника

    Углы можно найти исходя из уравнения (теорема синусов):

    2⋅R=asin(α)=bsin(β)=csin(γ)2\cdot R = \frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{b}{sin(\beta)} = \frac{c}{sin(\gamma)}

    Например, угол α будет равен:

    α=arcsin(a2⋅R)\alpha = arcsin\left ( \frac{a}{2\cdot R} \right )