created at February 17, 2022

Вычисление треугольника по заданным сторонам

обозначения

Стороны обозначаются маленькими латинскими буквами a, b, c. Противолежащие этим сторонам углы обозначаются греческими буквами α, β, γ, а точки в этих углах большими латинскими буквами A, B, C.

Периметр - сумма всех сторон:

P = a + b + c

Полупериметр - половина периметра:

p = \frac{a + b + c}{2}

Площадь (формула Герона):

S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}

вписанная и описанная окружности

Описанная окружность проходит через все вершины треугольника, центр находится в точке пересечения серединных перпендикуляров для всех трёх сторон. Радиус:

R = \frac{a\cdot b\cdot c}{4\cdot S}

Вписанная окружность находится внутри треугольника и касается всех его сторон. Центр находится в точке пересечения биссектрис. Радиус:

r = \frac{S}{p}

медианы

Медиана - отрезок, проведённый из угла к середине противолежащей стороны. Мы можем провести три медианы, и все они пересекаются в одной точки - центроид. Если вырезать пластину одинаковой толщины по форме и размеру данного треугольника - то центроид будет центром тяжести этой пластины. Медиану для стороны c можно найти как:

m_c = \sqrt{\frac{2\cdot a^2 + 2\cdot b^2 - c^2}{4}}

высоты

Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. Все высоты пересекаются в одной точке - ортоцентр. Высоту для стороны c можно найти как:

h_c = \frac{a\cdot b}{2\cdot R} = \frac{2\cdot S}{c}

биссектриссы

Биссектрисса - отрезок, проведённый из угла к противоположной стороне и делящий данный угол пополам. Все они пересекаются в одной точке - инцентр (она же центр вписанной окружности). Биссектриссу для стороны c можно найти как:

l_c = \frac{2\sqrt{a\cdot b\cdot p\cdot (p - c)}}{a + b}

углы треугольника

Углы можно найти исходя из уравнения (теорема синусов):

2\cdot R = \frac{a}{sin(\alpha)} = \frac{b}{sin(\beta)} = \frac{c}{sin(\gamma)}

Например, угол α будет равен:

\alpha = arcsin\left ( \frac{a}{2\cdot R} \right )