created at November 2, 2022

Ряд Фурье

Ряд Фурье позволяет заменить данную периодическую функцию бесконечной суммой гармонических функций (синусов и косинусов), каждые и которых имеют свои амплитуды и частоты. Это, например, широко используется в радиоэлектронике для генерации сложных периодических сигналов. Если принять, что период функции f(x) лежит в интервале от L до -L, то ряд выглядит следующим образом:

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left (a_n cos\left (\frac{n \pi x}{L}\right )+b_n sin\left (\frac{n \pi x}{L}\right )\right )

где

a_0=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) dx

- постоянный коэффициент, некое среднее значение функции, который показывает насколько функция приподнята по оси Y.

a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \cdot cos\left (\frac{n \pi x}{L} \right )dx

b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x) \cdot sin\left (\frac{n \pi x}{L} \right )dx

- переменные коэффициенты, зависящие от n.

Первые гармоники вносят самый большой вклад в создание очертания исходной функции, поэтому на практике конечно не нужно использовать бесконечный ряд, а можно ограничиться несколькими значениями n, скажем 10.

Пример разложения функции f(x) = x, лежащей в интервале -1:1, используя первые 5 гармоник:

Для чётных функций

Чётная функция симметрична относительно оси Y, то есть f(x) = f(-x) для любого x. Например, парабола f(x) = x². Для чётных функций ряд Фурье будет содержать только постоянный коэффициент a₀ и косинусы:

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty }\left (a_n cos\left (\frac{n \pi x}{L}\right )\right )

где

a_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x) \cdot cos\left (\frac{n \pi x}{L} \right )dx

Для нечётных функций

Нечётная функция симметрична относительно оси начала координат, то есть f(x) = -f(-x) для любого x. Например, кубическая функция f(x) = x³. Для нечётных функций ряд Фурье будет содержать только синусы:

f(x)=\sum_{n=1}^{\infty }\left (b_n sin\left (\frac{n \pi x}{L}\right )\right )

где

b_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}f(x) \cdot sin\left (\frac{n \pi x}{L} \right )dx

здесь, обратите внимание, постоянный член a₀/2 не присутствует, поскольку функция симметрична относительно начала координат.

Расчёт в Dysolve

В прикреплённом примере мы покажем, как использовать Dysolve для разложения в Ряд Фурье. Вам нужно задать вашу функцию f(x) а также N (кол-во первых гармоник, используемых для решения). Расчёт дан для функции общего вида (присутствуют синусы и косинусы).

Внимание! Поскольку программа считает интеграл численным методом для каждого коэффициента, расчёт может занять продолжительное время, поэтому не используйте большие значения N, иначе программа зависнет надолго, особенно android версия.

Также для этого примера нужна версия Dysolve 3.1.0 и выше.