⇐ back

    Линейные диф. уравнения первого порядка

    Линейное дифференциальное уравнения первого порядка имеет вид:

    y′+P(x)⋅y=Q(x)(1){y}' + P(x)\cdot y = Q(x)\quad (1)

    Если Q(x) ≡ 0, то уравнение линейное однородное, в противном случае линейное неоднородное. Однородное уравнение решается разделением переменных, получаем:

    dydx=−P(x)⋅y;dyy=−P(x)dx;ln(y)=−∫P(x)dx+ln(C)\frac{dy}{dx} = -P(x)\cdot y;\quad \frac{dy}{y} = -P(x)dx;\quad ln(y) = -\int P(x)dx + ln(C)
    ln(yC)=−∫P(x)dx;y=C⋅e−∫P(x)dxln\left ( \frac{y}{C} \right ) = -\int P(x)dx;\quad y = C\cdot e^{-\int P(x)dx}

    Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти варьируя произвольную постоянную C (метод Лагранжа), то есть полагая, что:

    y=C(x)⋅e−∫P(x)dx(2)y = C(x)\cdot e^{-\int P(x)dx}\quad (2)

    Тогда, подставляя (2) в исходное уравнение (1), получим:

    C′(x)⋅e−∫P(x)dx−C(x)⋅e−∫P(x)dx⋅P(x)+P(x)⋅C(x)⋅e−∫P(x)dx=Q(x){C}'(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} - C(x)\cdot e^{-\int P(x)dx}\cdot P(x) + P(x)\cdot C(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} = Q(x)
    C′(x)=Q(x)e−∫P(x)dx;C′(x)⋅e−∫P(x)dx=Q(x){C}'(x) = \frac{Q(x)}{e^{-\int P(x)dx}};\quad {C}'(x)\cdot e^{-\int P(x)dx} = Q(x)
    C(x)=∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx+CC(x) = \int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx + C

    Подставляя C(x) в общее решение уравнения, получим:

    y=e−∫P(x)dx⋅(∫Q(x)⋅e∫P(x)dxdx+C)y = e^{-\int P(x)dx}\cdot \left ( \int Q(x)\cdot e^{\int P(x)dx}dx + C \right )

    * В приложении Dysolve сессия для решения линейных неоднородных диф.уравнений численным методом. Нужно подставить P(x) и Q(x) для своей задачи, а также настроить интервал интегрирования (x1, x2, h) и задать начальные условия (y0). Точность решения зависит от выбранного метода интегрирования (метод Рунге-Кутта 4-ого порядка даст наилучшие результаты).