created at April 24, 2021

Прыжок на Луне

Довольно интересный факт, что Луна повернута к земле всегда только одной стороной. Однако сейчас задумаемся вот над чем:

Находясь на той стороне Луны, которую мы видим с земли, притяжение земли поможет прыгнуть на Луне выше. На обратной стороне Луны земное притяжение будет наоборот мешать нашему прыжку.

Вопрос:

Насколько выше можно прыгнуть на той стороне Луны, которую мы видим с земли по сравнению с прыжком на обратной стороне?

Обозначим силы, действующие на человека на Луне:

F1 - притяжение Луны, F2 - притяжение Земли

Согласно закону всемирного тяготения Ньютона, два тела массой m1 и m2, находящиеся на расстоянии R, притягиваются друг к другу с силой:

F=G \frac{m1\cdot m2}{R^{2}}\quad [H]

G - гравитационная постоянная (G = 6.67408*10-11 м³/(кг*с²)), (R - расстояние между центрами тяжести тел). Силы притяжения со стороны Луны и Земли:

F1=G \frac{M1\cdot m}{d1^{2}};\quad F2=G \frac{M2\cdot m}{d2^{2}};

где М1, М2 массы Луны и Земли соответственно, d1 и d2 - расстояния от человека до центров тяжести Луны и Земли соответственно, m - масса человека.

Считая силу F отрицательной (положительная ось направлена от центра планеты, а сила тяготения направлена к центру планеты), высоту прыжка определим по формуле:

H=\frac{1}{2}\cdot \frac{m\cdot V_{0}^{2}}{F}\quad [m]

где V₀ - некоторая начальная скорость прыжка. Результирующая сила на фронтальной стороне Луны:

F_{f}=-F1+F2

Результирующая сила на обратной стороне Луны:

F_{b}=-(F1+F2)

Подставляя силы F_f и F_b в (1), получим высоты прыжка на фронтальной и обратных сторонах:

H_{f}=\frac{1}{2}\cdot \frac{V_{0}^{2}}{G\cdot (\frac{M1}{d1^{2}} - \frac{M2}{d2^{2}})}

H_{b}=\frac{1}{2}\cdot \frac{V_{0}^{2}}{G\cdot (\frac{M1}{d1^{2}} + \frac{M2}{d2^{2}})}

тогда, соотношение обеих высот:

r=\frac{(\frac{M1}{d1^{2}} + \frac{M2}{d2^{2}})}{(\frac{M1}{d1^{2}} - \frac{M2}{d2^{2}})}

Подставляя массы Луны и Земли (M1 = 7.3477Е22 кг, M2 = 5.9726E24 кг), а также расстояния d1 ≈ 1737 км, d2 ≈ 384000 км, получим:

r=\frac{(\frac{7.3477E22}{1737^{2}} + \frac{5.9726E24}{384000^{2}})}{(\frac{7.3477E22}{1737^{2}} - \frac{5.9726E24}{384000^{2}})}=1.0033

Таким образом, прыжок на видимой стороне Луны будет лишь на 0.33 процента выше, чем на обратной.