created at February 3, 2022 (changed at February 11, 2022)

Жёсткость арбалетного плеча

Вычислим жёсткость арбалетного плеча. Будем считать его прямой балкой, работающей на изгиб. Балка консольно закреплена (один конец зафиксирован по всем степеням свободы), на конце перпендикулярно линии балки приложена сила F.

Жёсткость пружины - это отношение приложенного к ней усилия к её деформации. Например, нагрузили пружину силой 100 Ньютонов, она сжалась на 1 см (0.01 м), тогда жёсткость:

C = \frac{F}{\Delta} = \frac{100}{0.01} = 10^{4}\quad \frac{N}{m}

По аналогии будем считать жёсткость плеча как отношение приложенной к его концу силы к расстоянию, на которую конец переместился. В результате приложения силы в плече действует изгибающий момент. Эпюра момента выглядит так:

Максимальный момент будет действовать в основании плеча (в месте крепления к арбалету), поэтому это место уязвимо к излому. Кривизна изгиба плеча напрямую зависит от изгибающего момента в соответветствующем месте, поэтому кривизна будет больше у основания плеча. Чтобы сделать кривизну более равномерной, можно сделать плечо переменного сечения - более массивным у основания и тонким на конце. Будем считать, что у нас два разных сечения S1 и S2 у основания плеча и на конце, а сечения между меняются постепенно (линейно) от S1 к S2.

Чтобы найти жёсткость, нужно посчитать перемещение точки, где прикладывается сила. Из сопротивления материалов, для этого нужно приложить единичную силу к интересуемой точке в интересуемом направлении (направление силы совпадает с направлением, в котором ищем перемещение). В нашем случае единичная сила будет приложена так же, как сила F, только модуль силы равен единице. Потом нужно построить эпюру моментов от единичной силы. Перемещение можно определить с помощью интеграла Мора:

\Delta = \int_{0}^{L}\frac{M(z)\cdot M1(z)}{E\cdot I_x}dz\quad (1)

где E - модуль упругости материала, I_x - момент инерции сечения в плоскости изгиба, M(z) - момент от приложенной силы F, M1(z) - момент от единичной силы. Функции M, M1 можно выразить аналитически, посмотрев на эпюры. Эпюра от единичной силы выглядит так же, как силовая эпюра, только максимальное значение момента будет равно L.

M(z) = P\cdot z - P\cdot L

M1(z) = z - L

Если сечение не меняется по длине плеча, то 1/E·J_x можно вынести из под знака интеграла, тогда, подставив функции в (1) и проинтегрировав, получим:

\Delta = \frac{1}{E\cdot I_x}\frac{F\cdot L^3}{3}

Будем считать сечение плеча прямоугольным. Момент инерции прямоугольного сечения:

I_x = \frac{b\cdot h^3}{12}

где b - ширина плеча, h - высота в плоскости изгиба.

В нашем случае сечение меняется линейно, то есть момент инерции будет функция от z:

I_x(z) = \frac{(I2_x - I1_x)}{L}\cdot z + I1_x

Интеграл (1) проще посчитать в Dysolve, ниже есть ссылка на соответствующий документ. Жёсткость плеча найдём как F/Δ.

Посчитаем дополнительные параметры, которые могут пригодиться - масса и положение центра тяжести плеча. Массу можно посчитать так:

m = \rho\cdot V = \rho\cdot L\cdot \frac{A1 + A2}{2}

где ρ - плотность материала, A1 и A2 - площади поперечных сечений у основания и на конце соответственно. Результирующую координату центра тяжести всей системы, состоящей из N отдельных тел, в общем случае считают так:

X_c = \frac{1}{M}\cdot \sum_{i = 1}^{N}x_i\cdot m_i

где M - общая масса всех тел, x_i и m_i - координаты центров тяжести и массы отдельных тел. Если плечо арбалета разделить на бесконечно маленькие элементы, то сумму из предыдущего уравнения можно свести к интегралу:

Z_c = \frac{1}{M}\int_{0}^{L}\rho\cdot A\cdot z\cdot dz = \frac{\rho}{M}\int_{0}^{L}A\cdot z\cdot dz

где A - площадь сечения как функция от координаты z. По аналогии с моментом инерции сечения, функцию площади можно выразить как:

A(z) = \frac{(A2 - A1)}{L}\cdot z + A1

таким образом, относительное положение центра тяжести плеча:

k_c = \frac{X_c}{L}

Важно понимать, что мы считаем массу и центр тяжести рабочей части плеча, т.е. той части, которая реально гнётся. Соответственно L - это длина рабочей части. Всё плечо будет длинее, так как часть его крепится к колодке арбалета и эта часть зафиксирована.