created at November 29, 2021

Основные термодинамические процессы

Из первого закона термодинамики мы знаем, что подведённая теплота идёт на увеличение внутренней энергии u и совершение работы p·dv. Но, непонятно в каком соотношении подведённая работа распределяется на обе эти вещи. Чтобы исследовать какой-то конкретный процесс, нам надо принять это соотношение за некоторую постоянную величину. Мы можем ввести условие:

du = \phi \cdot dq

где φ - некоторая постоянная величина. Тогда

dq = \phi \cdot dq + dl

Такие процессы (когда φ = const) называют политропными. Также dq = c_φ·dT.

c_\phi = \frac{dq}{dT} = \frac{1}{\phi} \frac{du}{dT} = \frac{1}{\phi} \frac{c_v\cdot dT}{dT} = \frac{c_v}{\phi}

тогда из первого закона термодинамики можно получить:

p\cdot v^n = const

где введено обозначение:

n = \frac{c_\phi - c_p}{c_\phi - c_v}

где n - показатель политропы. Также верно:

T\cdot v^{n-1} = const

\frac{T^n}{p^{n-1}} = const

\phi = \frac{1-n}{k-n}

Работа газа в политропном процессе:

l = \frac{p_1\cdot v_1 - p_2\cdot v_2}{n-1}

l = \frac{R(T_1 - T_2)}{n-1}

Изменение внутренней энергии:

\Delta u = c_v(T_2 - T_1)

Кол-во подводимой теплоты:

q = c_v\frac{k-n}{1-n}(T_2 - T_1)

Величины φ и n связаны между собой, но для рассмотрения конкретных термодинамических процессов удобнее использовать n.

Изобарный процесс

Если n = 0, то pvⁿ = p = const

\frac{v_2}{v_1} = {T_2}{T_1}

l = p(v_2 - v_1)

l = R(T_2 - T_1)

Теплоёмкость c_φ = c_p.

q = c_p(T_2 - T_1) = \Delta i

Газ расширяется, но давление остаётся тем же, значит газ нужно нагревать в процесе. В итоге, подведённое тепло идёт на совершение работы и на увеличение внутренней энергии (увеличивается энтальпия).

Изотермический процесс

Если n = 1, то pv = const, или T = const

\frac{v_2}{v_1} = \frac{p_1}{p_2}

Температура тела не меняется, все тепло превращается в работу (газ расширяется). Теплоёмкость равна бесконечности, поскольку сколько тепла ни подводи - температура не растёт.

Адиабатный процесс

Если n = k, то pv^k = const. Процесс идёт без обмена теплотой с окружающей средой и dq = 0. Тогда dl = -du, то есть, работа совершается за счёт внутренней энергии газа.

p_1\cdot v_1^k = p_2\cdot v_2^k

\frac{T_2}{T_1} = \left ( \frac{p_2}{p_1} \right ) ^ {\frac{k-1}{k}}

l = \frac{p_1\cdot v_1 - p_2\cdot v_2}{k-1}

l = \frac{R(T_1 - T_2}{k-1}

l = \frac{p_1\cdot v_1}{k-1} \left ( 1 - \left ( \frac{p_2}{p_1} \right ) ^ {\frac{k-1}{k}} \right )

Изохорный процесс

Если n = +- ∞, то v = p^1/nv = const, или p⁰v = const, или v = const

\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}

Изменение температуры в замкнутом объёме пропорционально измению давления, и наоборот, бросив балон с газом в костёр, давление внутри будет расти пропорционально температуре. Работа совершаться не может, поэтому всё тепло идёт на увеличение внутренней энергии dq = du