created at April 13, 2021

Урок 4 - Сложение сил и приведение к центру

Теперь вы знаете, что сила - это векторная величина (как и момент силы). На механическую систему может действовать много разных сил и моментов. Часто бывает удобно систему сил упростить - найти один результирующий вектор силы и результирующий вектор моментов. Для этого нужно просто найти геометрическую сумму векторов.

рис. 1.4.1 Система сил и результирующий вектор

Четыре силы, действующие на самолет:

сила тяги двигателя Ft
сила тяжести Fg
сила сопротивления воздуха Fd
подъёмная сила крыла Fl

- заменяем все это одной силой R

Есть 2 основных способа найти сумму векторов. Первый способ - графический. Для двух векторов A и B, параллельно переместите один вектор так, чтобы его начальная точка совпала с начальной точкой второго вектора, тогда результирующий вектор R находят по правилу параллелограмма. Результирующий вектор R - это диагональ параллелограмма, образованного векторами A и B, которая выходит из той же общей начальной точки (рис. 1.4.2). Если векторов больше, то можно расположить их все один за другим, т.е. чтобы каждый новый вектор выходил из конца предыдущего. Потом надо соединить начало первого вектора и конец последнего - это и будет результирующий вектор R.

рис. 1.4.2 Геометрическое сложение векторов.

Первый способ полезен тем, что дает вам наглядное понимание сложения векторов. Но, на практике пользоваться им неудобно.

Второй способ - аналитический. Вектор можно разложить на проекции в заданной системе координат. Тогда вектор представляется нам как набор чисел (проекций), которые однозначно его определяют. В трехмерном пространстве, вектор определяется через его три проекции вот так:

\vec{V}=V_{x}\cdot \vec{i}+V_{y}\cdot \vec{j}+V_{z}\cdot \vec{k}

рис. 1.4.3 Определение вектора через его проекции

Вектор V выражается через единичные векторы i, j, k (орты), которые имеют длину равную единице и направлены вдоль осей системы координат Oxyz. Vx, Vy, Vz – проекции вектора V на оси x, y, z

Результирующий вектор системы сил находится просто: его проекции - это суммы соответствующих проекций суммируемых векторов. То есть:

R_{x}=\sum_{k}^{}F_{xk};\quad R_{y}=\sum_{k}^{}F_{yk};\quad R_{z}=\sum_{k}^{}F_{zk};

Например, на футбольный мяч в полёте действуют две силы - сила сопротивления воздуха:

\vec{Fd}=-5\cdot \vec{i}+2\cdot \vec{j}

и сила тяжести:

\vec{Fg}=0\cdot \vec{i}-3\cdot \vec{j}

рис. 1.4.4 Пример вычисления результирующего вектора.

Тогда проекции результирующего вектора R:

R_{x}=Fd_{x}+Fg_{x}=-5+0=-5\:[H]

R_{y}=Fd_{y}+Fg_{y}=2-3=-1\:[H]

и сам вектор R:

\vec{R}=-5\cdot \vec{i}-1\cdot \vec{j}

(здесь рассматриваем задачу в плоскости xy)

Результирующий вектор - это один вектор, которым можно заменить целую систему векторов. Его также называют главный вектор сил. Таким же способом можно найти результирующий вектор моментов - главный вектор моментов.

Равнодействующая сила

Другое важное понятие - равнодействующая сила. Эта такая сила, которая по своему воздействию эквивалентна заданной системе сил. То есть, ею одной можно заменить целую систему сил. Можно подумать, что главный вектор - это и есть равнодействующая. Но это не всегда так. Если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке, то результирующая таких сил будет также равнодействующей. А вот если силы не пересекаются в одной точке - то их результирующая НЕ будет равнодействующей. Это потому, что если силы не пересекаются в одной точке - они создают вращающий эффект. Чтобы силовое воздействие на тело было эквивалентным, нужно помимо результирующий силы приложить к нему еще и момент, который будет отражать вращающий эффект.

рис. 1.4.5 Результирующая и равнодействующая силы.

Возможно, читатель лучше разберется с этим при решении задач, ну а пока просто помните, что эти два понятия "результирующей" и "равнодействующей" нужно различать.

Иногда для удобства бывает нужно параллельно перенести линию действия силы в другое место, скажем, чтобы привести все силы к одному центру. Правило простое: линию действия силы можно перенести в точку А, но при этом нужно добавить момент этой силы относительно точки А. Тогда перенесенная сила F' вместе с моментом mA(F) будут оказывать эквивалентное силовое воздействие:

рис. 1.4.6 Приведение силы к заданному центру

Например, толкает человек лежащую на льду покрышку, прикладывая усилие не в центр покрышки, а сбоку, с некоторым смещением d. Покрышка скользит по льду, но при этом еще и вращается, поскольку сила не по центру приложена.

рис. 1.4.7 Пример приведения силы к центру

Теперь человек начал толкать покрышку по центру - она скользит, но больше не вращается. То есть, это уже другое силовое воздействие и у него другой результат. Если нужно, чтобы результат был как в первом случае - нужно чтобы кто-то еще подкручивал покрышку, прикладывая момент равный произведению значения силы F на плечо d.

Пользуясь приведенными в этой главе правилами, можно любую систему сил привести к двум главным векторам - главному вектору сил и главному вектору моментов.

рис. 1.4.8 Главный вектор сил и главный вектор моментов