Урок 6 - Решение задач статики

    ⇐ back

    created at April 13, 2021

    Урок 6 - Решение задач статики

    Внешние и внутренние силы

    Все силы, по отношению к заданной системе, можно разделить на внешние и внутренние. Как уже упоминалось 3-ей главе, решешие задачи начинается с того, что мы выделяем интересующую нас систему, мысленно изолируем её от окружающего мира, а воздействие окружающих тел на систему заменяем соответствующими силами и моментами. Под "системой" мы понимаем одно или несколько тел, которые взаимодействуют между собой и с окружающими телами.

    Силы, действующие на систему со стороны окружающих (мысленно отброшенных) тел - внешние, а силы, с которыми части системы взаимодействуют друг с другом - внутренние. Рассмотрим на примере железнодорожного состава:

    рис. 1.6.1 Внешние и внутренние силы

    Третий закон Ньютона гласит: "Сила действия равна силе противодействия". Если первое тело действует на второе с силой F, то второе тело также действует на первое с силой F', которая такая же по величине как F, но противоположно направлена. Локомотив действует на вагон с силой F, а вагон действует на локомотив с силой F'. Силы F и F', очевидно, уравновешивают друг друга. Если мы решаем задачу только для локомотива, то вагон мысленно отбрасываем, и тогда заменяем воздействие вагона силой F'. По отношению к локомотиву эта сила будет внешней. А если мы решаем задачу для всего состава (рассматриваем локомотив и вагон как единое целое), то тогда силы F и F' будут внутренними.

    Основной смысл в том, что внутренние силы можно исключить из рассмотрения, поскольку они уравновешивают друг друга. Тогда, при решении задач, нас интересуют только внешние силы - они входят в уравнения равновесия.

    решение задач

    Теперь мы можем перейти к решению задач статики. Статика изучает равновесие системы, и суть задач в том, чтобы найти такую комбинацию сил и моментов, при воздействии которых система остаётся в равновесии. Как правило, известны внешние силы, а реакции являются неизвестными и подлежат определению.

    Для решения задач статики используют уравнения равновесия. В общем виде запишем их так:

    ∑kRk=0(1)\sum_{k}^{}R_{k}=0\quad (1)
    ∑kMk=0(2)\sum_{k}^{}M_{k}=0\quad (2)

    В трех-мерном пространстве оба эти уравнения можно разложить на проекции по трём осям, получим:

    ∑kRxk=0;∑kRyk=0;∑kRzk=0;\sum_{k}^{}R_{xk}=0;\quad \sum_{k}^{}R_{yk}=0;\quad \sum_{k}^{}R_{zk}=0;
    ∑kMxk=0;∑kMyk=0;∑kMzk=0;\sum_{k}^{}M_{xk}=0;\quad \sum_{k}^{}M_{yk}=0;\quad \sum_{k}^{}M_{zk}=0;

    Итого, имеем шесть уравнений, которые нужно решить как одну систему.

    На практике очень много задач являются "плоскими". Это значит, что все силы и моменты лежат в одной плоскости. Это такой частный случай пространственной задачи. Для такой задачи 3-ю ось (та, что перпендикулярна плоскости) можно исключить из рассмотрения. Тогда, для плоской задачи имеем только два уравнения равновесия для сил, и одно уравнение равновесия для моментов. Итого: три уравнения.

    Обычно изучение материала начинают с плоских задач (поскольку они проще), а потом уже рассматривают пространственные задачи. Мы пока ограничимся рассмотрением плоских задач.

    Пример 1

    Рассмотрим равновесие моста, на котором стоит человек. Слева мост имеет шарнирное закрепление, справа мост свободно лежит на гладкой поверхности. Сила тяжести человека F и сила тяжести моста G лежат в вертикальной плоскости. Реакции NA и NB тоже лежат в вертикальной плоскости. То есть, задача плоская:

    рис. 1.6.2 Равновесие моста

    То есть, на мост действуют две активные силы - сила тяжести человека и сила тяжести самого моста, а также силы реакции связей левой и правой опор, которые неизвестны и подлежат определению.

    Прежде чем составлять уравнения, выберем направление осей. Мы можем выбирать их как нам удобно. В данном случае удобно ось x направить вдоль моста, а ось y - перпендикулярно вверх. Реакцию NB со стороны левой опоры разложим по осям на две составляющие: XB и YB. Это удобно для составления уравнений. Мы наперёд не знаем направление вектора NB, поэтому XB и YB - обе неизвестны. С правой стороны ситуация другая - там мост лежит на гладкой поверхности, а реакция гладкой поверхности направлена по нормали к ней (перпендикулярно). Реакцию NA тоже удобно разложить на две составляющие XA и YA, однако, обе эти составляющие связаны соотношением:

    XA=NA⋅sin(α);YA=NA⋅cos(α);X_{A}=N_{A}\cdot sin(\alpha );\quad Y_{A}=N_{A}\cdot cos(\alpha );

    то есть выражаются через одно неизвестное - NA.

    Составим уравнение для оси x. Для этого сложим все силы, действующие в направлении этой оси, и приравняем нулю:

    XB−NA⋅sin(α)=0X_{B}-N_{A}\cdot sin(\alpha)=0

    Подобным образом составим уравнение для оси y:

    YB−F−G+NA⋅cos(α)=0Y_{B}-F-G+N_{A}\cdot cos(\alpha)=0

    Как видите, силы, направленные вдоль оси x входят в уравнение со знаком "плюс", а те, что против оси x - со знаком "минус".

    Осталось составить уравнение моментов. Для этого нужно выбрать точку, относительно которой составлять уравнение. Эту точку можно выбирать произвольно, однако, лучше это делать из соображений удобства расчета. Составим уравнение относительно точки B, поскольку это поможет найти реакцию NA. Для этого возьмём все силы, которые не проходят через точку B, и умножим их на соответствующие растояния от точки B до линии действия силы (плечо):

    NA⋅cos(α)⋅L−G⋅L2−F⋅l=0N_{A}\cdot cos(\alpha)\cdot L - G\cdot \frac{L}{2}-F\cdot l=0

    Обратите внимание на знаки: в решении задач механики момент считается положительным, если он действует против часовой стрелки.

    Получили следующую систему из трех уравнений:

    {X:XB−NA⋅sin(α)=0Y:YB−F−G+NA⋅cos(α)=0MB:NA⋅cos(α)⋅L−G⋅L2−F⋅l=0\begin{cases} X:\quad X_{B}-N_{A}\cdot sin(\alpha)=0 \\Y:\quad Y_{B}-F-G+N_{A}\cdot cos(\alpha)=0 \\ M_{B}:\quad N_{A}\cdot cos(\alpha)\cdot L - G\cdot \frac{L}{2} - F\cdot l = 0 \end{cases}

    Теперь из 3-его уравнения найдем NA:

    NA=G⋅L2+F⋅lcos(α)⋅LN_{A}=\frac{G\cdot \frac{L}{2} + F\cdot l}{cos(\alpha)\cdot L}

    Зная NA, из первого уравнения найдем XB:

    XB=NA⋅sin(α)X_{B} = N_{A}\cdot sin(\alpha)

    Из второго уравнения найдем YB:

    YB=F+G−NA⋅cos(α)Y_{B} = F + G - N_{A}\cdot cos(\alpha)

    Таким образом, мы нашли реакции связей, которые обеспечат мосту равновесие. Задача решена.

    Пример 2

    Рассмотрим равновесие крана, заделанного в стену. На самом конце крана висит ведро с водой. Также на кране есть вентиль, который вращается в вертикальной плоскости. Допустим, в данный момент кто-то вращает этот вентиль, тем самым передавая крану некоторый момент.

    рис. 1.6.3 Равновесие крана

    Поскольку задача плоская, реакция заделки слева имеет три неизвестные составляющие - две силы XA, YA, и один момент MA. Почему есть ещё момент MA? Заделка - это не шарнир, она не позволяет крану вращаться вокруг точки A, хотя ему и хотелось бы, поскольку на нём висит ведро с водой. Вес ведра и самого крана создаёт момент, который стремится кран повернуть вокруг точки A. Однако, кран остаётся в равновесии именно благодаря реакции MA, которую нужно найти.

    Направим ось x вдоль крана, а ось y перпендикулярно вверх. Видим, что вдоль оси x никакие силы не действуют, поэтому уравнение для оси x составлять бесполезно, и реакция XA равна нулю.

    Составим уравнение для оси y, и из него сразу найдём YA:

    YA−G1−G2=0;→YA=G1+G2Y_{A} - G1 - G2 = 0;\quad \rightarrow \quad Y_{A} = G1 + G2

    Составим уравнение для моментов относительно точки A:

    MA+M−G1⋅L2−G2⋅L=0M_{A} + M - G1\cdot \frac{L}{2} - G2\cdot L = 0

    Момент от веса крана G1 мы умножили на плечо L/2, полагая, что центр тяжести крана находится посередине. Также видим, что приложенный к вентилю момент M входит в уравнение как есть. Теперь не составляет труда найти реакцию MA.

    MA=G1⋅L2+G2⋅L−MM_{A} = G1\cdot \frac{L}{2} + G2\cdot L - M

    Решение получили в общем виде. Подставьте вместо G1, G2, L и M конкретные числа - и получите конкретный результат. В этой задаче у нас было два уравнения и два неизвестных.

    важный нюанс

    При решении задач, мы наперёд не знаем куда направлены реакции. Поэтому достаточно принять некоторое направление самостоятельно и начать решать задачу. Если в результате реакция окажется положительной, то изначально выбранное направление оказалось правильным. Если реакция окажется отрицательной - значит в действительности сила реакции действует в противоположную сторону. Это касается и сил, и мометнов.

    Статически неопределимые задачи

    Как вы наверно заметили, у нас есть некоторое число уравнений, которые мы можем составить для конкретной задачи, и некоторое число неизвестных реакций, которые нужно найти. Очевидно, если неизвестных реакций будет больше, чем число возможных уравнений - то такую задачу не получится решить данным способом. Такие задачи называются статически неопределимыми. Это не значит, что их нельзя решить вообще, просто там применяется несколько иной подход. Здесь мы не будем рассматривать решение таких задач, рассмотрим лишь пример такой задачи, чтобы было ясно о чем речь:

    рис. 1.6.4 Мост с "лишними" опорами

    Здесь мы можем составить только три уравнения, но неизвестных реакций у нас целых пять. Таким образом, мы имеем задачу со степенью статической неопределимости - два (5 - 3 = 2). Статическая неопределимость - это результат наложения "лишних" связей. Для того, чтобы система была кинетически неизменяемой (то есть, полностью зафиксированной), нам достаточно левой опоры и какой-нибудь ещё одной из трёх остальных (например, опоры A). Все остальные добавленные опоры являются лишними.

    Здесь важно понять: опоры B и C "лишние" только с точки зрения решения задачи статики, но не с точки зрения функциональности конструкции. Конечно же они нужны для обеспечения большей прочности моста.

    Copyright © 2016-2023, Stanislav Noskov. All rights reserved