created at December 1, 2022 (changed at December 3, 2022)

Расчёт силового трансформатора

Трансформатор преобразует входное напряжение U₁ и входной ток I₁, получая на выходе другие U₂ и I₂. Он имеет по меньшей мере две обмотки проводов, индуктивно связанные между собой (намотанные на общий сердечник).Чтобы трансформатор работал, входное напряжение (и ток) должны быть переменными. В общем случае, связь между входным и выходным током может быть довольно сложной, но мы здесь рассматриваем обычный силовой трансформатор, который используют для питания электрических цепей. В таком трансформаторе входные напряжения и токи (и соответственно выходные тоже) будут синусоидальными. Частота выходного тока совпадает с частотой входного, трансформатор не преобразует частоту.

Принцип работы трансформатора

К первичной обмотке подключается источник напряжения U₁. В результате, в первичной обмотке течёт переменный ток I₁, который порождает в сердечнике переменный магнитный поток. Этот поток пронизывает также витки вторичной обмотки, в результате чего в ней наводится ЭДС (см. Электромагнитная индукция). Теперь вторичная обмотка по-сути становится источником напряжения, к ней подключают сопротивление нагрузки R_load (различные приборы - потребители). Во вторичной обмотке начинает течь ток I₂, который тоже порождает магнитный поток в сердечнике, усиливая изначальный поток. Поэтому ток в первичной обмотке возрастает.

Коэффициент трансформации

Поскольку магнитный поток общий и элементарное ЭДС в каждом витке обеих обмоток одинаково, то соотношение витков определяет соотношение напряжения. Поскольку мы рассматриваем идеальный трансформатор (без потерь), то в нём входная мощность равна выходной. С учётом этого, вводим коэффициент трансформации:

n = \frac{W_2}{W_1} = \frac{U_2}{U_1} = \frac{I_1}{I_2}

Если n > 1, то трансформатор повышающий (выходное напряжение больше входного, а ток меньше). Если n < 1, то трансформатор понижающий (выходное напряжение меньше входного, а ток больше).

Сердечник выполняется из материала с высокой магнитной проницаемостью μ (см. ссылка), например, из электротехнической стали, или феррита. Намотка выполняется из медного провода, покрытого лаковой изоляцией.

Простая математическая модель трансформатора

Составим математическую модель для общего случая, когда мы ещё не знаем для чего конкретно будет использоваться трансформатор. Зададим только входное напряжение U₁ (эффективное значение), частоту f, и требуемое напряжение на выходе U₂.

Выберем размер сердечника, допустим он имеет прямоугольное сечение, размером a x b, а длина намотки равна lw. Выберем количество витков первичной W₁ обмотки. Выберем диаметр провода первичной в вторичной обмоток, dw₁ и dw₂ соответственно.

Периметр сечения сердечника равен 2(a + b), длина провода первичной обмотоки: l₁ = W₁·2(a + b). Площадь сечения провода: S₁ = π·dw₁²/4. Тогда активное сопротивление первичной обмотки:

R_1 = \rho \frac{l_1}{S_1} = \rho \frac{W_1\cdot 8\cdot (a + b)}{\pi \cdot dw_1^2}

Всё то же самое можно посчитать для вторичной обмотки.

Индуктивность первичной обмотки:

L_1 = \frac{\mu_0\cdot \mu\cdot W_1^2\cdot A}{lw}

где A = a·b (площадь поп.сечения сердечника).

Индуктивное сопротивление первичной обмотки:

XL_1 = \omega\cdot L_1 = 2\cdot \pi \cdot f \cdot L_1

Полное сопротивление первичной обмотки:

Z_1 = \sqrt{R_1^2 + XL_1^2}

Ток холостого хода (без подключенной нагрузки) в первичной обмотке:

I_{11} = \frac{U_1}{Z_1}

Напряжение на вторичной обмотке:

U_2 = n\cdot U_1

Ток во вторичной обмотке:

I_2 = \frac{U_2}{(R_2 + R_{load})}

Этот ток вносит свой вклад в магнитный поток, увеличивая его, и чтобы сохранился баланс между приложенным напряжением U₁ и ЭДС в первичной обмотке, первичный ток I₁ должен увеличиться на I₂·n. Тогда результирующий ток в первичной обмотке:

I_1 = I_{11} + I_2\cdot n

Другими словами, первичный ток является суммой тока холостого хода (когда ко вторичной обмотке ничего не подключено), и тока I₂, пересчитанного с учётом соотношения числа витков обмоток.

Мощность, потребляемая из сети:

P_1 = U_1\cdot I_1

Мощность, отдаваемая потребителю:

P_2 = U_2\cdot I_2

Все приведённые здесь величины напряжений и токов - это эффективные значения.

В расчётном документе "power_transformer" заложена модель, описанная выше, а также есть переменные с постфиксом "margin", которые показывают запас текущих значений диаметра проводов обмотки, размера сердечника и количества витков, в сравнении с посчитанными по эмпирическим формулам. Если запас сильно отрицательный, то соответствующий размер нужно увеличить, пока запас не будет близким к нулю или положительным.

Также, в документе задаётся выходное напряжение U₂, и исходя из этого высчитывается кол-во витков вторичной обмотки.

Данную модель можно использовать для расчёта уже имеющегося трансформатора (когда все параметры заданы). Но остаётся открытым вопрос, а как подобрать параметры? Как выбрать размер сердечника, диаметр проводов обмоток, количество обмоток? Рассмотрим методику расчёта силового трансформатора.

Расчёт силового трансформатора

Для этого используют некоторые эмпирические формулы. Определимся, какой выходной ток и напряжение нам нужны для потребителя. Получим выходную мощность P₂. Учитывая потери в реальном трансформаторе, примем:

P_1 = 1.2\cdot P_2

Площадь сечения сердечника в см² можно определить по формуле:

A = 1.2\cdot \sqrt{P_1}

Количество витков обмотки на один вольт напряжения:

Nv = \frac{55}{A}

исходя из этого, зная входное напряжение U₁, определим кол-во витков первичной обмотки:

W_1 = Nv\cdot U_1

и для вторичной обмотки:

W_2 = Nv\cdot U_2 = Nv\cdot U_1\cdot n

Токи в первичной в вторичной обмотках:

I_1 = \frac{P_1}{U_1}; \quad I_2 = \frac{P_2}{U_2}

Диаметр сечения проводов обмоток в мм подбирается исходя из соотношения:

D = 0.8\sqrt{I}