Переходный процесс в RL цепи

    ⇐ back

    created at June 26, 2021

    Переходный процесс в RL цепи

    Рассмотрим последовательную цепь с резистором и катушкой:

    В цепи действует источник постоянного напряжения E. В ней также есть переключатель S1.

    Первый закон коммутации

    Ток, текущий через индуктивный элемент, не может изменяться скачком.

    Подключение к напряжению

    Переключаем S1 в положение a, подключая цепь к источнику питания.

    Из-за катушки ток i в цепи не может вырасти мгновенно, поскольку тогда на катушке будет индуцироваться бесконечно большой ЭДС согласно e = L·di/dt. С другой стороны, через какое-то время в цепи установится постоянный ток, который будет равен I = E/R, поскольку катушка не будет имееть индуктивного сопротивления.

    Составим уравнение для баланса напряжений:

    i⋅R+Ldidt=e;i′+RL⋅i=eL(1)i\cdot R + L\frac{di}{dt} = e;\quad {i}' + \frac{R}{L}\cdot i = \frac{e}{L}\quad (1)

    Это линейное неоднородное диф.уравнение первого порядка, здесь описывается решение таких уравнений. Введем постоянную времени:

    τ=LR\tau = \frac{L}{R}

    а также постоянный ток в стационарном процессе:

    I=ERI = \frac{E}{R}

    тогда, общее решение ур-я (1) будет:

    i=I+C⋅e−1τ⋅ti = I + C\cdot e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t}

    Найдем C исходя из условия: i(t = 0) = 0, получим C = -I. В игоге:

    i=I(1−e−1τ⋅t)i = I \left ( 1 - e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t} \right )

    Напряжение на резисторе:

    UR=R⋅i=R⋅I(1−e−1τ⋅t)U_R = R\cdot i = R\cdot I \left ( 1 - e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t} \right )

    Напряжение на катушке:

    UL=Ldidt=L(I−I⋅e−1τ⋅t)′=L⋅E⋅RL⋅Re−1τ⋅t=E⋅e−1τ⋅tU_L = L\frac{di}{dt} = L \left ( I - I\cdot e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t} \right )' = \frac{L\cdot E\cdot R}{L\cdot R}e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t} = E\cdot e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t}

    Отключение от напряжения (короткое замыкание цепи)

    Если переключатель S1 переключить в положение b, то ток потечет через короткий контур, постоянное напряжение E больше не действует. Опять же, ток не может моментально упасть до нуля. Такой схеме будет соответствовать уравнение:

    i′+RLi=0{i}' + \frac{R}{L}i = 0

    Это линейное однородное диф.уравнение, решение которого:

    i=C⋅e−1τi = C\cdot e^{-\frac{1}{\tau}}

    Полагая i(t = 0) = I, получим C = I, и значит:

    i=I⋅e−1τi = I\cdot e^{-\frac{1}{\tau}}

    напряжение на резисторе:

    UR=R⋅i=R⋅I⋅e−1τU_R = R\cdot i = R\cdot I\cdot e^{-\frac{1}{\tau}}

    Напряжение на катушке:

    UL=Ldidt=L⋅E⋅RL⋅Re−1τ⋅t=−E⋅e−1τ⋅tU_L = L\frac{di}{dt} = \frac{L\cdot E\cdot R}{L\cdot R}e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t} = -E\cdot e^{-\frac{1}{\tau}\cdot t}

    отобразим ток i1 при подключении к напряжению (S1 → a), и ток i2 при отключении от него (S1 → b) графически для E = 12 В, R = 50 Ω, L = 2 H:

    Copyright © 2016-2023, Stanislav Noskov. All rights reserved