created at February 21, 2022

Расчёт прочности абралетного плеча

За основу возьмём этот пример, где мы определяем жёсткость плеча и считаем перемещение его конца под действием приложенной силы (натяжение тетивы). Соответственно, имеем плечо прямоугольного сечения переменной толщины и ширины.

Посчитаем прочность арбалетного плеча, зная его геометрические размеры и характеристики материала. Часто бывает так, что параметры арбалета уже известны и мы знаем насколько будет деформироваться плечо при полном взводе оружия. Поэтому, перемещение Δ свободного конца плеча между начальным (без тетивы) и взведённым состояниями будем считать заданной величиной.

Плечо работает на изгиб, оно представляет из себя консольно закреплённую балку с приложенной на конце силой (перпендикулярно плечу). В плече действует изгибающий момент, эпюра которого выглядит так:

Эпюра находится в плоскости изгиба. Из сопротивления материалов известно, что при изгибе балки эпюра внутренних напряжений выглядит линейно. Внутренние напряжения в данном случае - это нормальные напряжения (растяжения/сжатия), направленные вдоль линии плеча. Есть некоторая нейтральная линия, на которой напряжение растяжения σ_z равно нулю, а по мере удаления от неё напряжения растут - по одну сторону волокна растягиваются (σ_z > 0), по другую - сжимаются (σ_z < 0). Максимальные напряжения будут на поверхности балки (наиболее удалённой от нейтральной линии), соответственно, там скорее всего материал начнёт разрушаться. Причём, такой характер распределения напряжений в сечении свойственнен для поперечных сечений любой формы. Нейтральная линия проходит через центры тяжести сечений.

В нашем случае сечение прямоугольное, его центр тяжести лежит в точке пересечения диагоналей. Максимальные растягивающие напряжения будут на внешней поверхности плеча (по отношению к арбалету), максимальные сжимающие напряжения - на внутренней.

эпюра нормальных напряжений в сечении при изгибе плеча

Так же известно, что при изгибе максимальное растягивающее напряжение в сечении определяется по формуле:

\sigma_{max} = \frac{M\cdot y_{max}}{I_x}\quad (1)

где M - изгибающий момент в этом сечении, y_max - расстояние от нейтральной линии сечения до самой удалённой его точки (в нашем случае y_max равен половине толщины плеча h), I_x - момент инерции сечения.

В нашем случае, момент M - меняется по длине плеча, также меняется момент инерции сечения I_x. Перемещение расчитывается с помощью интеграла Мора:

\Delta = \int_{0}^{L}\frac{M(z)\cdot M1(z)}{E\cdot I_x}dz\quad (2)

но теперь у нас стоит обратная задача - имея заданное перемещение Δ посчитать силу F, приложенную на конце, чтобы потом посчитать изгибающий момент в плече. Имея ввиду, что:

M(z) = F\cdot z - F\cdot L\quad (3)

M1(z) = z - L

I_x(z) = \frac{(I2_x - I1_x)}{L}\cdot z + I1_x\quad (4)

I1_x = \frac{b1\cdot h1^3}{12};\quad I2_x = \frac{b2\cdot h2^3}{12}

вычислим интеграл (2), и выразим F через Δ. Введём обозначения (для удобства):

k1 = \frac{Ix_2 - Ix_1}{L};\quad k2 = Ix_1

тогда:

F = \frac{E\cdot k1\cdot \Delta}{-1.5\cdot L^2 - \frac{k2}{k1}L + \left (\frac{k2}{k1} \left (2\cdot L + \frac{k2}{k1} \right) - L^2 \right )\cdot ln \left (\frac{k1}{k2}L + 1 \right )}

Теперь, когда мы знаем силу F, мы знаем зависимость для изгибающего момента по длине плеча (3). Зависимость для момента инерции задаётся уравнением (4). Зависимость для толщины плеча h задаётся уравнением:

h(z) = \frac{(h2 - h1)}{L}\cdot z + h1\quad (5)

Теперь мы имеем всё необходимое, чтобы задать максимальное нормальное напряжение σ_z в сечении как функцию z согласно уравнению (1), построить её граффически и определить максимальное напряжение σz_max.

Теперь нужно выбрать некоторое предельное значение σ_lim для материала плеча. Поскольку мы не хотим, чтобы плечо работало на пределе, нужно оставить некоторый запас, или другими словами заложить коэффициент безопасности k. Можем взять к = 1.5. Такое значение часто применяется в авиационных расчётах на прочность.

Для материалов обычно известны пределы прочности и текучести, они определяются экспериментально. Если материал непластичен, то при нагружении он линейно упруго деформируется, а потом при достижении предела прочности довольно резко ломается (например, дерево). Для такого материала предельным напряжением можно считать предел прочности σ_τ, и с учётом коэффициента безопасности σ_lim = σ_τ/k.

При нагружении пластичного материала (низкоуглеродистые стали, алюминий), материал сначала деформируется упруго, а потом, при достижении предела текучести, в материале уже появляются необратимые деформации и дальше он деформируется пластично, пока полностью не разрушится. Но, нам ведь не нужно, чтобы плечо оставалось погнутым после выстрела, поэтому напряжения не должны превышать предел текучести σ_y, и опять же, с учётом коэффициента безопасности σ_lim = σ_y/k.

Пружинные стали (с содержанием углерода около 0.6%) гнутся упруго (без остаточной деформации) в широком диапазоне, но всё же могут деформироваться пластично, поэтому, для них тоже лучше рассматривать материл как пластичный, и использовать σ_y для расчёта предельного напряжения. Это на случай, если вы делаете плечи из рессоры.

И наконец, если максимальное напряжение, полученное по формуле (1) не превышает предельное σ_lim, то вам не о чем волноваться, в противном случае, нужно пересмотреть размеры плеча - или сделать его тоньше, или длинее.