created at February 14, 2022

Расчёт рекурсивного арбалета

Рассчитаем динамику обычного рекурсивного арбалета. Введём некоторые упрощения, составим и решим дифференциальные уравнения динамики выстрела и определим начальную скорость стрелы. Многие называют арбалетные стрелы болтами, но на мой взгляд, это жаргонизм с английского "bolt", а по-русски стрела она и есть стрела. Впрочем, меня не особо волнует лингвистика, задача в том, чтобы попытаться составить простую, но более-менее адекватную математическую модель, которую можно использовать при проектировании собственного арбалета.

Забегая вперёд, замечу, что данная схема также должна быть вполне пригодна для расчёта классического лука (не блочного).

Расчётная схема рекурсивного арбалета

Для расчёта я выбрал следующую схему:

Предположим, что изначально плечо прямое, имеет длину L, и стоит под углом α к ложу. Если реальное плечо само с изгибом, можно приблизительно считать его прямым, провести линию через начало (крепление к колодке) и конец (крепление тетивы), и угол между этой линией и ложем взять за угол α.

Для упрощения также предположим, что плечо при сгибании описывает дугу окружности, соответственно расстояние CA не меняется при выстреле и равно L. Конечно же, в реальной ситуации деформация плеча имеет более сложный характер, но можно ожидать, что данное упрощение не вызовет большой погрешности.

исходное состояние с натянутой тетивой

Нас интересует рабочая часть плеча (которая реально гнётся), а поскольку часть плеча прикреплёна к колодке и не гнётся, введём параметр d - расстояние от конца колодки (начала рабочей части плеча) до центральной линии арбалета (до плоскости симметрии). Также будем считать, что после установки тетивы плечи будут поджаты так, что начальная точка проекции конца плеча на линию ложа (точка D) переместится вдоль ложа на расстояние H₀ в положение точки D'. Начальное расстояние от конца плеча до ложа - L₀, то есть длина тетивы будет равна 2·L. Размеры относящиеся к начальному состоянию с установленной тетивой изображены на рисунке синим цветом. На рисунке показана левая часть арбалета, с правой стороны всё происходит симметрично. Ход тетивы до полного взведения оружия обозначен как H.

Также мы вводим жёсткость плеча C [N/m] - отношение приложенной к его концевой точке силы (перпендикулярно плечу) к перемещению этой точки. Пример расчёта жесткости можно найти в этой статье. Там также расчитывается масса плеча и относительное положение его центра тяжести, которые тоже нам здесь понадобятся.

промежуточное состояние в момент взведения

Теперь рассмотрим некоторое промежуточное состояние при взведении тетивы. Все соответствующие размеры изображены зелёным цветом. Введём координату h - расстояние от начальной точки пересечения тетивы и ложа (D') до некоторой промежуточной точки (точка B). Таким образом, у нас есть треугольник ABC со сторонами AB = L_d (зависит от h), BC = L₀ (не меняется, т.к. тетиву считаем нерастяжимой), CA = L (тоже не меняется, поскольку, как упоминалось, полагаем, что точка C перемещается по дуге с радиусом L и центром в точке A).

расчёт исходного состояния

Приведём формулы для расчёта начального (невзведённого) состояния арбалета.

L_x = L\cdot cos(\alpha)

L_0 = \sqrt{L^2 + (L_x + H_0)^2} + d

\alpha_{01} = atan\left ( \frac{L_0 - d}{L_x + H_0} \right )

\alpha_{02} = \alpha - \alpha_{01}

l_0 = L\cdot \alpha_{02}

где l₀ - длина дуги между двумя положениями плеча - начального недеформированного и поджатого после установки тетивы. Будем считать, что сила сопротивления плеча изгибу пропорциональна l₀ и жёсткости плеча C. Тогда:

F_0 = l_0\cdot C

Эта сила направлена поперёк плеча, но поскольку она прикладывается со стороны тетивы (которая в начальном положении перпендикулярна ложу), то изначальное натяжение тетивы найдём как:

N_0 = \frac{F_0}{cos(\alpha_{01})}

расчёт промежуточного состояния

Теперь приведём формулы для промежуточного состояния, соответствующего координате h. Здесь все приведённые величины будут функциями h.

L_d = \sqrt{d^2 + (L_x + H_0 + h)^2}

\phi_1 = asin\left ( \frac{d}{L_d} \right )

полупериметр треугольника ABC:

p = \frac{L + L_0 + L_d}{2}

площадь треугольника ABC:

S_{ABC} = \sqrt{p(p - L)(p - L_0)(p - Ld)}

радиус описанной окружности для треугольника ABC:

R = \frac{L\cdot L_0\cdot L_d}{4\cdot S_{ABC}}

\alpha_{13} = asin\left ( \frac{L_0}{2\cdot R} \right )

\alpha_{11} = \alpha_{13} - \phi_1

\alpha_{12} = \alpha - \alpha_{11}

l_1 = L\cdot \alpha_{12}

F_1 = l_1\cdot C

\gamma_1 = asin\left ( \frac{L_d}{2\cdot R} \right )

сила натяжения тетивы в промежуточном положении:

N_1 = \frac{F_1}{sin(\gamma_1)}

\phi_2 = asin\left ( \frac{L}{2\cdot R} \right )

\phi = \phi_1 + \phi_2

сила натяжения тетивы, спроецированная на линию ложа (сила действующая на стрелу):

F_b = N_1\cdot cos(\phi)

приведённая масса плеча

Теперь введём координату x по направлению движения стрелы. Масса стрелы m_B нам известна, но надо как-то учесть массу плеча. Поскольку плечо движется не совсем параллельно стреле и вообще по более сложному закону, придётся вводить приведённую массу с учётом соотношение движения стрелы и плеча. Найдем сначала закон движения кончика плеча, а закон движения центра масс плеча (то, что нам нужно для уравнения динамики) найдём по его относительному положению на плече.

Допустим, стрела переместилась на маленькое расстояние dx. Тогда тетива переместилась в сторону плеча на расстояние:

\Delta = cos(\phi)\cdot dx.

Со стороны кончика плеча, это перемещение Δ вызовет перемещение перпендикулярное плечу:

dl = \Delta\cdot sin(\gamma_1)

Выразив Δ из обоих уравнений и приравняв, получим:

dl = cos(\phi)\cdot sin(\gamma_1)\cdot dx

То есть, мы получили связь между перемещением стрелы вдоль ложа и перемещением кончика плеча. Соответственно, центр масс плеча переместится на расстояние k_C·dl.

решение уравнения динамики

Теперь мы можем составить уравнение динамики в проекции на ость x (второй закон Ньютона):

\ddot{x} = \left ( \frac{1}{m_B + 2\cdot k_C\cdot cos(\phi)\cdot sin(\gamma_1)\cdot m_L} \right )\cdot (2\cdot F_b)

где x'' - вторая производная по времени от перемещения x (оно же ускорение стрелы), m_B - масса стрелы, m_L - масса одного плеча, k_C - относительное положение центра тяжести плеча от его основания. Если плечо постоянного сечения - k_C будет равно 0.5, но на практике такое не часто встречается. Масса плеча добавляется к массе стрелы, но с некоторым коэффициентом, который мы вывели выше. Сила F_b также умножается на два, поскольку у нас два плеча. φ, γ₁ и F_b будут функциями координаты h, но мы выбрали для интегрирования координату x, поэтому h можно выразить как H - x. Интегрируем по времени до некоторого момента времени t₂, которое можно взять например 0.02 секунды. Оно должно быть немного дольше того момента, когда тетива распрямляется и стрела отрывается от неё. Сила F_b в вычислительном документе запрограммирована так, что она становится равной нулю в момент, когда x почти достигает и превышает H.

Приведём графики перемещения и скорости стрелы в момент выстрела.

Для этого примера L = 300 mm, α = 75°, d = 50 mm, H0 = 30 mm, C = 3200 N/m, H = 300 mm, k_C = 0.4, m_B = 12 g, m_L = 105 g.

Видно, что по достижении начального незаряженного состояния (x достигает рабочего хода тетивы и тетива распрямляется), скорость перестаёт расти и останавливается на некоторой отметке 60.7455 m/s. Это и будет начальная скорость стрелы при выстреле. Процесс выстрела (до полного распрямления тетивы) заканчивается примерно через 8 милисекунд.

Также найдём силу изгиба плеча в полностью взведённом состоянии, выраженную в кгс (килограмм-сила):

F_{max} = \frac{F1(H)}{g}

силу растяжения в тетиве:

N_{max} = \frac{N1(H)}{g}

максимальное усилие взведения оружия:

D_w = \frac{2\cdot F_b(H)}{g}